Insectes et Mathématiques

[oss007]

Hello,
Une nouvelle énigme mathématique avec cette fois un termite.

Le termite et les 27 cubes (1)


oss007 : France : Marseille : 13000 : 07/06/2022
Altitude : 20 m - Taille : 15 (estimé)
Réf. : 303971

Martin Gardner propose dans son livre New Mathematical Diversions from Scientific American devenu Nouveaux Divertissements Mathématiques (Dunod) en France, au chapitre 12 (Nine problems), page 139, le problème 9 intitulé Termite and 27 cubes.

Soit un cube constitué de 27 plus petits cubes de bois juxtaposés les uns aux autres. Un termite démarre au centre d'une face de l'un des cubes extérieurs, et emprunte un chemin qui le fait traverser une seule fois chacun des petits cubes. Son mouvement est toujours parallèle à un côté du grand cube, jamais à une diagonale.
Est-il possible pour le termite de traverser chacun des 26 cubes extérieurs une et une seule fois, puis de finir son voyage en entrant dans le cube central pour la première fois ?
Si cela est possible merci de décrire un tel chemin.
Si non, démontrer qu'un tel chemin est impossible.
Généraliser ce problème pour les cubes d'ordre pair et impair.

Référence: Martin Gardner, New Mathematical Diversions from Scientific American, Simon and Schuster, 1966, pp. 139 et 148-149.

Mathématiquement vôtre.
oss007

[oss007]

Bonsoir,

Le termite et les 27 cubes (2)

Voici la réponse dans le cas particulier des 27 cubes.

Il n'est pas possible pour le termite de traverser chacun des 26 cubes extérieurs et de terminer son voyage au centre du cube. Ceci se démontre (aisément ) en coloriant le cube avec deux couleurs alternées comme sur le dessin ci-dessous, un peu comme un échiquier en 3 dimensions. Le grand cube possède donc 13 petits cubes d'une couleur et 14 cubes d'une autre couleur.
Tout le long du chemin, quand le termite va passer d'un petit cube au suivant, ces cubes possèderont des couleurs alternées. Cependant, si le termite veut traverser les 27 petits cubes, il doit commencer et finir par un cube qui appartient à l'ensemble des 14 cubes. Mais, le cube central appartient appartient à l'ensemble des 13 cubes. Le chemin souhaité est donc impossible à réaliser.

Détail pour une meilleure compréhension éventuelle

Dans le dessin proposé, il y a 14 petits cubes noirs et 13 petits cubes blancs, ... et le petit cube central est blanc.

Le trajet devrait être: N -> B -> N -> B -> N -> B -> N -> B -> N -> B -> N -> B -> N -> B -> N -> B -> N -> B -> N -> B -> N -> B -> N -> B -> N

Voilà la disposition des cubes, de l'étage supérieur jusqu'à l'étage inférieur, vue de dessus.
.... supérieur ..........intermédiaire .......... inférieur
...... N B N .............. B N B ..................... N B N
...... B N B .............. N B N ..................... B N B
...... N B N .............. B N B ..................... N B N

Le cube central est blanc et un tel trajet est donc impossible.

À bientôt.


oss007 : France : Marseille : 13000 : 09/06/2022
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Réf. : 304152

[oss007]

Bonjour,

Le termite et les 27 cubes (3)

Réponse dans le cas général des cubes d'ordre pair et impair.
Dorénavant, le mot cellule sera utilisé pour évoquer les petits cubes unités composant le cube principal.
Il y a deux cas à considérer:

-> Généralisation pour les cubes d'ordre pair

Ce sont les cubes possédant un nombre pair 2m de cellules sur chaque arête du cube; un tel cube possède donc un nombre pair de cellules égal à (2m)³ = 8m³. Il existe alors le même nombre 4m³ de cellules blanches et de cellules noires car il n'existe pas de cube central. Pour ces cubes d'ordre pair, il existe alors des chemins partant de n'importe quelle cellule d'une couleur donnée et s'achevant sur n'importe quelle cellule possédant l'autre couleur.

-> Généralisation pour les cubes d'ordre impair

Ce sont les cubes possédant un nombre impair 2m+1 de cellules sur chaque arête du cube,
Un tel cube possède toujours un petit cube d'une couleur donnée de plus que l'autre couleur car (2m+1)³ = (4m³+ 6m² + 3m +1) + (4m³+6m²+3m), donc si un tel chemin existe, il doit obligatoirement commencer et terminer par des cellules dont la couleur utilisée correspond au plus grand ensemble de cubes (4m³ + 6m² + 3m +1) [Voir pourquoi dans le précédent message].

Il y a ici aussi deux sous cas à considérer:

----> Pour les cubes d'ordre 4k-1 = 3, 7, 11, 15, 19, ... la cellule centrale appartient toujours à l'ensemble le plus petit et donc ne peut être la cellule finale d'un chemin emprunté par le termite.

----> Pour les cubes d'ordre 4k+1 = 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... la cellule centrale appartient toujours à l'ensemble le plus grand et donc peut être la cellule terminale d'un chemin emprunté par le termite, à condition que le termite commence son trajet par une cellule de même couleur que celle de la cellule centrale.

Précisons qu'aucun chemin fermé, c'est à dire commençant et terminant par la même cellule n'est possible dans le cas des cubes d'ordre impair.

Conclusion:

il existe un chemin pour le termite pour les cubes d'ordre 2m et 4k+1, soit pour les cubes d'ordre: 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, ...

Par contre, il n'existe pas de chemin pour les cubes d'ordre 3, 7, 11, 15, 19, ... (= 4k-1, k>0)

Amicalement.

[oss007]

Bonjour,

Moucheron en vol (avec quatre ailes)

Après les courbes en forme de papillons (pages 3 et 4) et de scarabée (page 10), voici une courbe rencontrée sur la toile et intitulée Moucheron en vol. Ce moucheron est plutôt particulier car il possède 4 ailes, maintenant on ne peut exiger d'un mathématicien d'être également entomologiste
L'équation de ce moucheron en coordonnées polaires est ρ = [sin(4θ-π/2)+cos(2θ-π/4)]/2.
Le graphe de la courbe ci-dessous est obtenu avec le logiciel Maple, il est nécessaire de faire varier θ entre 0 et 2π pour obtenir la courbe entière.


oss007 : France : Marseille : 13000 : 03/07/2022
Altitude : 20 m – Taille : 30 (estimé)
Réf. : 305754

Le moucheron en vol, avec quatre ailes, sans les axes de coordonnées est celui de droite ...

oss007 : France : Marseille : 13000 : 03/07/2022
Altitude : 20 m – Taille : 15 (estimé)
Réf. : 305755

D'autres courbes représentant des arthropodes seront de nouveau proposées par la suite.

Amicalement.

[oss007]

Coucou,
En attendant l'arrivée de prochains thèmes, vous trouverez en page 2 de ce fil, plus précisément dans les deuxième et troisième messages, des solutions aux différentes variantes proposées avec le problème Combien d'insectes et combien d'araignées dans la boite ?, problème dont l'énoncé fait l'objet du sixième message de la page 1, avec la même illustration que celle ci-dessous.

oss007 : France : Marseille : 13250 : 27/02/2022
Altitude : NR – Taille : 30 (estimé)
Réf. : 298723
Bonne journée.
Amicalement.
OSS007

[oss007]

Coucou,

Fractales et Papillons (I)

Quelques papillons butinent dans le champ des fractales. Après avoir rappelé ce qu'est une fractale, le papillon de Hofstadter puis l'attracteur de Lorenz avec son effet papillon vont virevolter à nos côtés. C'est peut-être un peu plus difficile sur le plan mathématique que les précédents sujets explorés, mais la récompense sera la rencontre de lépidoptères particuliers.

1. Les fractales

Une figure fractale est un objet mathématique, ici géométrique, qui présente une structure identique à toutes les échelles. En zoomant sur une partie de la figure, on peut retrouver toute la figure, on dit qu’elle est autosimilaire : cette figure conserve sa forme, quelle que soit l'échelle à laquelle on l'observe.

Même si certaines propriétés étaient déjà connues, on attribue la découverte des fractales au mathématicien franco-américain, né à Varsovie, polytechnicien, Benoît Mandelbrot (1924 - 2010) qui a d'ailleurs créé le terme fractale en 1974/1975 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier.
Référence: son livre Les Objets fractals : forme, hasard et dimension (1re éd. 1975).


La théorie mathématique qui étudie les fractales permet de parler de structures géométriques ayant des dimensions non-entières, la dimension de Hausdorff = D_f. La ligne est de dimension 1, le plan et le cercle de dimension 2, l'espace et le cube de dimension 3, alors que la dimension fractale d'un flocon de Koch (voir ci-dessous) est ... D_f = ln(3)/ln(2) = 1,26185... cette dimension est strictement supérieure à sa dimension topologique.

Certains végétaux comme la fougère ou le chou romanesco (D_f ~= 2.66) , de même que les côtes de la Norvège avec les fjords possèdent de remarquables formes fractales, bien qu'approximatives. La côte de la Norvège a une dimension de Hausdorff estimée à D_f ~= 1,52 (voir lien Dimensions fractales ci-dessous).

Quelques liens vers de célèbres fractales :
-> la courbe de Peano (1890)
-> le flocon de Koch (1904) [permet de comprendre la construction d'une fractale]
-> le triangle de Sierpiński (1915) .
-> l'ensemble de Mandelbrot (avant 1914)
-> l'ensemble de Julia

Quelques liens pour en savoir plus sur ces fractales :
-> M@ths et tiques
-> Futura-Sciences
-> Bruno Marion - Les fractales pour les nuls
-> Dimensions fractales - KaféMath

Sur Youtube :
-> Les fractales - Micmaths : agréable présentation par Mickaël Launay
-> Deux (deux ?) minutes pour l'ensemble de Mandelbrot : avec un peu d'analyse complexe
-> Best fractals zoom ever : voyage en zoomant sur des fractales
-> Le monde des fractales (Mandelbulber compilation) : excursion au pays des fractales

Pour le plaisir des yeux...

Prochain épisode : le papillon de Hofstadter.
Bonne soirée.

[oss007]

Fractales et Papillons (II) == Papillon de Hofstadter

Le papillon de Hofstadter bénéficie d'une structure fractale. Qui est l'inventeur de ce papillon et quelles sont les propriétés de ce lépidoptère ?

2.1 Douglas Richard Hofstadter

Douglas Richard Hofstadter, né le 15 février 1945, est un universitaire américain, qui a obtenu son doctorat en physique à l'université de l'Oregon en 1975. Depuis 1988, il est professeur de sciences cognitives et d'informatique, d'histoire et de philosophie des sciences, de littérature comparée et de psychologie à l'université de l'Indiana à Bloomington.

Son père Robert Hofstadter a reçu le prix Nobel de physique en 1961 pour "ses études pionnières de la diffraction des électrons dans le noyau atomique et pour les découvertes sur la structure des nucléons qui en ont découlé".

En 1979, Douglas Richard Hofstadter publie son livre Gödel, Escher, Bach : Les Brins d'une Guirlande Éternelle qui obtient le prix Pulitzer de l'essai en 1980. C'est ce livre qui lui permettra d'accéder à la notoriété. "Cet ouvrage met en lumière les interactions entre les mathématiques, l'art et la musique, en s'appuyant sur les réalisations du logicien Kurt Gödel, de l'artiste Maurits Cornelis Escher et du compositeur Jean-Sébastien Bach qui semblent s'entrelacer." (Wikipédia)

En 1981, lorsque Martin Gardner cessa d'écrire sa chronique Mathematical Games dans la revue Scientific American (en France : Jeux mathématiques dans le mensuel Pour la Science), Hoftstadter lui succéda avec une chronique intitulée Metamagical Themas qui est une anagramme de Mathematical Games. Plusieurs problèmes proposés dans ce fil, comme le premier de cette page : Le termite et les 27 cubes proviennent de ces Mathematical Games de Martin Gardner; ces problèmes ont ensuite été publiés dans différents livres.

2.2 Le papillon de Hofstadter



Les opérateurs de Schrödinger quasipériodiques apparaissant dans l'équation de Schrödinger sont des objets étudiés en mécanique quantique, le plus célèbre, celui qui a intéressé Douglas Hofstadter, est l'opérateur presque-Mathieu. En 1976, durant son séjour à l'université de l'Oregon, Hofstadter prédit dans l'article Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields que, dans ce champ magnétique particulier, les valeurs des niveaux énergétiques d'un électron en tant que fonction du champ magnétique appliqué au système, forment un ensemble fractal, généralement connu sous le nom de papillon de Hofstadter, l'une des rares structures fractales appartenant au monde de la physique. Cette structure a été confirmée par la suite grâce à des mesures dans des systèmes bidimensionnels d'électrons avec un treillis nano-fabriqué superposé (voir liens).



Images provenant de Futura-Sciences (noir et blanc) et du site Images des Mathématiques du CNRS (couleur).

Quelques liens:
Le papillon de Hofstadter - Jean Bellissard - Séminaire Bourbaki
Un papillon inconnu des lépidopérophiles - PHYSMATIQUES, blog de Claude Aslangul
Hofstadter's butterfly - English Wikipedia (pas d'article sur le Wiki français)

Amicalement.

[oss007]

Hello,
Avant-dernier message consacré aux Fractales et aux Papillons.

Fractales et Papillons (III) == l' “Effet papillon” et l'attracteur de Lorenz (en forme de papillon)

Un météorologue américain Edward Lorenz (1917-2008) est à l'origine de l'expression “Effet papillon” et a également découvert un attracteur possédant une structure fractale en forme de papillon qui porte son nom.
Ce message est consacré à l' “effet papillon”, et les deux suivants aborderont l'attracteur de Lorenz.

3.1 L' “effet papillon”

En 1972, le météorologue Edward Lorenz fait une conférence scientifique à l'American Association for the Advancement of Science intitulée :
« Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas? »,
qui se traduit par :
« Prédictibilité : le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ? ».


oss007 : France : Marseille : 13000 : 28/11/2022
Altitude : 20 m – Taille : 30 (estimé)
Réf. : 315814

C'est ainsi que nait l'expression : “Effet papillon”. Cela signifie qu'il suffit de modifier de façon infime les conditions initiales dans un modèle mathématique de météorologie pour que celui-ci s’amplifie progressivement et provoque des résultats extrêmement différents sur le long terme (voir message ci-dessous). Cette notion ne concerne pas seulement la météorologie, mais a des applications également en sociologie, physique, informatique, ingénierie, économie et biologie.

Autrement dit, l' “effet papillon” est une expression (vulgarisation) qui résume une métaphore concernant le phénomène fondamental de la sensibilité aux conditions initiales en théorie du chaos (Wikipédia).

Amicalement.

[oss007]

Bonjour,

Fractales et Papillons (III) == l' “Effet papillon” et l'attracteur de Lorenz (en forme de papillon)

Pour bien comprendre, dans un premier temps, nous allons nous intéresser au système de Lorenz, ce qui nous conduira naturellement à l'attracteur de Lorenz en forme de papillon (références provenant de Wikipédia).

3.2.1 Le système dynamique de Lorenz ou modèle de Lorenz encore appelé oscillateur de Lorenz

En 1963, Edward Lorenz publie un article intitulé : Deterministic non periodic flow (voir pièce jointe en bas de ce message) dans lequel un modèle mathématique de prévisions météorologiques, c'est à dire un système dynamique d'équations différentielles, se comporte bizarrement.

En simplifiant à l'extrême les équations de Navier-Stokes, E. Lorenz alors météorologue au MIT tente de simuler le mouvement de l'atmosphère près des océans et propose un système différentiel ne présentant que trois variables dynamiques x, y et z et 3 paramètres σ, ρ et β.
Ce sont les équations (25), (26) et (27) de son document de 1963:

dx/dt = - σ * x(t) + σ * y(t)
dy/dt = ρ * x(t) - y(t) - x(t) * z(t)
dz/dt = x(t) * y(t) - β * z(t)

Lorenz précise que x est proportionnel à l'intensité du mouvement de convection, y est proportionnel à la différence de température entre les courants ascendants et descendants, et z est proportionnel à l'écart du profil de température vertical par rapport à un profil linéaire.
Pour les paramètres: σ est le nombre de Prandtl, et ρ est le rapport du nombre de Rayleigh Ra au nombre de Rayleigh critique Ra_c.

La résolution de ce système d'équations mène, pour certaines valeurs particulières de ces paramètres, à l'attracteur de Lorenz, objet du prochain message.

PJ : E. Lorenz - Deterministic non periodic flow, Journal of the Atmospheric Sciences (JAS), Vol.20, p 130-141 (1963) [ce PDF est disponible en lecture sans télécharger].

[oss007]

Hello,

Fractales et Papillons (III) == l' “Effet papillon” et l'attracteur de Lorenz (en forme de papillon)

3.2.2 L'attracteur de Lorenz (suite et fin)

Il faut maintenant fixer les paramètres. Par expérience, Lorenz choisit les valeurs numériques σ = 10, β = 8/3 et teste diverses valeurs de ρ pour résoudre numériquement son système dynamique avec l'aide d'un ordinateur.
Lorenz découvre alors que son système présente un comportement chaotique pour certaines valeurs de ρ. Le seuil d'établissement du régime chaotique se situe pour ρ compris entre 24,29 et 24,30. Il remarque que pour ρ = 28, après 30 secondes de régime pseudo-périodique, le système parvient à son régime chaotique, en forme de papillon.

Courbe réalisée par D.328 2008/03/12 18:16 (UTC) à l'aide du programme Mathematica, CC BY-SA 3.0.

L'attracteur de Lorenz est défini comme l'ensemble des trajectoires à long terme du système dynamique de Lorenz ci-dessus.
Cet attracteur lépidoptère est une surface fractale de dimension de Hausdorffcomprise entre 2 et 3.

Attracteur de Lorenz obtenu par Wikimol, Dschwen pour des paramètres σ = 10, β = 8/3 et ρ = 28.

Pour bien comprendre et visualiser l'apparition de cet étrange attracteur, merci de VISITER CE LIEN WIKIPÉDIA, Attracteur de Lorenz - Description : démarrer l'animation (*) Absorption de 25 000 points par un attracteur de Lorenz proposée à droite et qui dure 1:15. Tous ces points sont des points initiaux à un instant t₀ situés dans l'espace (x,y,z), et ces points vont tous évoluer dans le temps en suivant les équations du système différentiel de Lorenz décrit au § 3.2.1. Regarder, c'est véritablement magique!
En fait, pour des conditions initiales autres que les points fixes ou points d'équilibre du système, chaque trajectoire de l'équation s'approche rapidement de l'attracteur, elle commence par s'enrouler sur une aile, puis saute d'une aile à l'autre pour recommencer à s'enrouler sur l'autre aile, et ainsi de suite, de façon apparemment erratique et chaotique.

Pour être un tant soit peu exhaustif, si l'existence de cet attracteur étrange en forme de papillon a été rencontrée et conjecturée par Edward Lorenz dès 1963 sur la base de simulations numériques, elle ne sera rigoureusement prouvée qu'en 2001 par Warwick Tucker (voir PJ1).

Lors du Séminaire Poincaré de 2010, Étienne Ghys, dans un article intitulé L'attracteur de Lorenz, paradigme du chaos, va considérer en page 2 ce "papillon comme un joli cadeau des physiciens aux mathématiciens" ! Les premières pages de ce document sont accessibles à tous (voir PJ2).

PJ1 : Warwick Tucker - A Rigorous ODE Solver and Smale’s 14th Problem
PJ2 : Etienne Ghys - L'attracteur de Lorenz, paradigme du chaos, Séminaire Poincaré, vol. XIV, 2010.

(*) _{Je ne suis pas parvenu à transférer cette animation vers le forum.}

Le thème Fractales et Papillons se termine ici. Merci pour vos visites

Amicalement.